Top

Hilbertov paradox nekonečného hotela

Predstav si hotel s nekonečne veľa izbami, kde je každá izba obsadená. Čo sa stane, ak príde nový hosť? Vieme ho tiež ubytovať alebo je hotel plný?

Ak by mal hotel konečný počet izieb, zrejme by sme nového hosťa nevedeli prijať. Izieb je však nekonečno, a preto jednoducho požiadame každého hosťa, aby sa presťahoval o izbu ďalej. Hosť z prvej izby sa presťahuje do druhej, hosť z druhej izby do tretej a tak ďalej. Pre nového hosťa sa tak uvoľní prvá izba.

Podobným spôsobom vieme ubytovať akýkoľvek konečný počet nových hosťov. Ako však postupovať v prípade, že do hotela príde nekonečne veľa nových hostí?

Ukážme si najjednoduchší spôsob: hosťa z izby č. 1 pošleme do izby č. 2, hosťa z izby č. 2 do izby č. 4, hosťa z n-tej izby do 2n-tej:

1 → 2

2 → 4

3 → 6

4 → 8

n → 2n

Takto sa nám uvoľní nekonečne veľa izieb.

Kde sa skrýva paradox? Aj keď nám intuícia vraví, že prirodzených čísel je dvakrát viac než párnych prirodzených čísel, nie je to pravda. Párnych čísel nie je menej ako prirodzených: „počet“ oboch označujeme ako spočítateľné nekonečno.

Príspevok pripravila Lucia Kekeňáková.